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Matemática 51

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MATEMÁTICA 51 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)

Práctica 3 - Límite

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2. Sea $f(x)=\frac{5 x+1}{3 x+k}$. Determinar el valor de $k \in \mathbb{R}$ de tal forma que $f(1)=6$. Para el valor de $k$ hallado, determinar las ecuaciones de todas las asintotas de $f$.

Respuesta

Ya vimos en el curso cómo se resuelven este tipo de ejercicios donde tenemos una incógnita distinta de $x$. 


Vamos a plantear la condición dada: $f(1)=6$


•  $f(1)=6$:

$\frac{5 (1)+1}{3(1)+k} = 6$ 


$\frac{5+1}{3+k}=6$ 


$\frac{6}{3+k}=6$ 


$6=6(3+k)$ 


$\frac{6}{6}=3+k$ 

$1=3+k$ 


$1-3=k$


• $k = -2$



Teniendo el valor de $k$, podemos escribir la función: $f(x)=\frac{5 x+1}{3 x-2}$.



• Busquemos las asíntotas de $f(x)=\frac{5 x+1}{3 x-2}$.


Asíntotas Verticales:
1. Buscamos el dominio de la función: $3 x-2\neq0$


$3 x\neq2$


$x\neq \frac{2}{3}$

Por lo tanto, los valores restringidos del dominio serán: $x = \frac{2}{3}$


2. Evaluamos el límite en los valores excluídos del dominio:

$\lim_{x\rightarrow\frac{2}{3}}\frac{5 x+1}{3 x-2} = \infty$ 

Fijate que el numerador tiende a 3 y el denominador tiende a cero. Por lo tanto la fracción en su totalidad tiende a infinito.
• Hay A.V. en $x=frac{2}{3}$  

 
Asíntotas Horizontales: $\lim_{x\rightarrow\pm\infty} \frac{5 x+1}{3 x-2} = \frac{\infty}{\infty}$
Salvamos la indeterminación 👉 Y acá te invito a que subas foto de cómo quedaría salvada esta indeterminación, en base a lo visto en el video de límites cuando x tiende a infinito. Yo igual te dejo el resultado que te tiene que dar, pero me gustaría ver si lo estás haciendo bien. 🙌 


Al salvar la indeterminación te tiene que quedar $\lim_{x\rightarrow\pm\infty} \frac{5 x+1}{3 x-2} =\frac{5}{3}$

Por lo tanto,
• Hay A.H. en $y=\frac{5}{3}$
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Avatar Abigail 17 de septiembre 11:28
profe, una pregunta, por que para hallar K al pasar el denominador del otro lado no aplica la distributiva entre el 6 por 3+k? mi duda surge porque en el ejercicio anterior cuando piden el conjunto de ceros de una estructura A/x-B + C pasa un 3(C) y el denominador aplicandoles una distributiva despues
Avatar Julieta Profesor 19 de septiembre 15:45
@Abigail Hola Abi, son distintas formas de llegar a lo mismo. Podría haberlo hecho así como vos decís y llegar a lo mismo. Acá me pareció más fácil pasar el 6 dividiendo al 6 en lugar de hacer la distributiva. Pero se llega al mismo final y es completamente válido usar cualquiera de las formas.
Avatar Abigail 20 de septiembre 11:37
@Julieta muchas gracias profe! 
Avatar Milenka 20 de junio 17:16
Profe quería preguntarle me piden calcular el valor de a y como condición me dieron ×=6 pero no es que me hayan dado f(1)= 6 y no sabría como hayar el valor de a 
Avatar Milenka 20 de junio 17:17
Sería lo mismo si pongo f(1)=6 ?
Avatar Julieta Profesor 28 de junio 14:16
@Milenka Hola Mile, pero qué significa ese x=3, es una asíntota vertical? En ese caso plantearías justamente eso, la asíntota vertical. No puedo saberlo sin ver el ejercicio, pero intuyo que hablas de la AV
Avatar Alicia 9 de mayo 10:10
Hola Juli, te paso la paso foto de reescritura de indeterminada. Favor fija si hice bien. Gracias 2024-05-09%2010:10:49_5564741.png
Avatar Julieta Profesor 13 de mayo 16:18
@Alicia ¡Está perfecto Ali! Pero en un parcial tenés que desarrollar todo eso, sí? Escribir como hago en el pizarrón así como hiciste con lapiz y poniéndo que eso tiende a cero. También tenés que escribir el límite adelante marcando a qué tiende x, pero está muy bien el razonamiento!! Te felicito!!
Avatar Josefina 3 de mayo 13:35
Yo para sacar la asintota horizontal hice a/c 
Está bien eso???
Avatar Julieta Profesor 6 de mayo 14:21
@Josefina Sí, aunque siempre le preguntaría a mi profe en clase qué método prefiere. Algunos prefieren ese, otros quieren que les muestras el límite.
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